בגרות קיץ 2025 מועד ב׳ – וקטורים בפירמידה משולשתוקטורים 472 · שיעור 31
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. נסמן: AB = u , AC = v , AS = w. הנקודה E נמצאת על המקצוע SB, והנקודה F נמצאת על המקצוע SC. נתון: SE = 34SB , SF = 34SC.
א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים SE , BC ו־SF.
ב. (1) הביעו באמצעות u ו־v את הווקטור EF. (2) הסבירו מדוע EF מקביל ל־BC.
נתון: B(1 , −1 , 3) , C(13 , 15 , 3).
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מצאו את ההצגה האלגברית של הווקטור BC ושל הווקטור EF.
נתון: E(5 , 1 , 6).
ד. מצאו את שיעורי הנקודה F.
נתון: A(4 , 12 , 3).
ה. (1) מצאו את גודל הזווית EAF. (2) חשבו את שטח המשולש EAF.
סעיף א – הבעת SE , BC , SF
הפירמידה לפי הנקודות האמיתיות של השאלה: A(4,12,3), B(1,−1,3), C(13,15,3), והקודקוד S(17,7,15) שמתקבל מהנתונים. בירוק: EF. קו מקווקו – מקצוע נסתר.
SB: הולכים מ־S ל־A ומשם ל־B. הכיוון מ־S ל־A הפוך ל־w:
SB = SA + AB
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב SA = −w , AB = u:
SB = −w + u = u − w
SE = 34SB
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף א – הבעת SE , BC , SF · המשך
SE = 34SB
נציב SB = u − w:
SE = 34(u − w)
BC = BA + AC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב BA = −u , AC = v:
BC = −u + v
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף א – הבעת SE , BC , SF · המשך
BC = −u + v
BC = v − u
SC = SA + AC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב SA = −w , AC = v:
SC = −w + v = v − w
SF = 34SC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף א – הבעת SE , BC , SF · המשך
SF = 34SC
נציב SC = v − w:
SF = 34(v − w)
✅ פתרון סופי: SE = 34u − 34w , BC = v − u , SF = 34v − 34w
סעיף ב – הווקטור EF ולמה הוא מקביל ל־BC
(1) הולכים מ־E חזרה ל־S ומשם ל־F:
EF = ES + SF = −SE + SF
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב SE = 34(u − w) , SF = 34(v − w):
EF = −34(u − w) + 34(v − w)
EF = −34u + 34w + 34v − 34w
האיברים עם w מתקזזים (34w − 34w = 0):
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף ב – הווקטור EF ולמה הוא מקביל ל־BC · המשך
האיברים עם w מתקזזים (34w − 34w = 0):
EF = 34v − 34u = 34(v − u)
(2) מסעיף א: BC = v − u, ולכן:
EF = 34(v − u) = 34BC
📐 וקטורים מקבילים
הווקטור EF הוא כפולה של BC במספר, ולכן הם באותו כיוון ו־EF ∥ BC.
✅ פתרון סופי: EF = 34v − 34u ; EF = 34BC ⟸ EF ∥ BC
📐 וקטורים מקבילים
a = k·b ⟹ a ∥ b
סעיף ג – ההצגה האלגברית של BC ו־EF
BC = C − B = (13 − 1 , 15 − (−1) , 3 − 3)
📐 וקטור בין שתי נקודות
BC = (12 , 16 , 0)
EF = 34BC
📐 כפל וקטור במספר
נציב BC = (12 , 16 , 0):
EF = 34(12 , 16 , 0)
34·12 = 9
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
📐 כפל וקטור במספר
k(x , y , z) = (kx , ky , kz)
סעיף ג – ההצגה האלגברית של BC ו־EF · המשך
34·12 = 9
34·16 = 12
34·0 = 0
EF = (9 , 12 , 0)
✅ פתרון סופי: BC = (12 , 16 , 0) , EF = (9 , 12 , 0)
סעיף ד – שיעורי F
F = E + EF
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב E(5 , 1 , 6) , EF = (9 , 12 , 0):
F = (5 , 1 , 6) + (9 , 12 , 0)
F = (5 + 9 , 1 + 12 , 6 + 0) = (14 , 13 , 6)
✅ פתרון סופי: F(14 , 13 , 6)
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
סעיף ה – הזווית EAF ושטח המשולש EAF
(1) הזווית EAF היא הזווית בין הווקטורים AE ו־AF:
AE = E − A = (5 − 4 , 1 − 12 , 6 − 3)
📐 וקטור בין שתי נקודות
AE = (1 , −11 , 3)
AF = F − A = (14 − 4 , 13 − 12 , 6 − 3)
📐 וקטור בין שתי נקודות
AF = (10 , 1 , 3)
AE·AF = 1·10 + (−11)·1 + 3·3 = 10 − 11 + 9 = 8
📐 מכפלה סקלרית (רכיבים)
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
📐 מכפלה סקלרית (רכיבים)
(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
סעיף ה – הזווית EAF ושטח המשולש EAF · המשך
AE·AF = 1·10 + (−11)·1 + 3·3 = 10 − 11 + 9 = 8
📐 מכפלה סקלרית (רכיבים)
|AE| = √(12 + (−11)2 + 32) = √(1 + 121 + 9) = √131
📐 אורך וקטור
|AF| = √(102 + 12 + 32) = √(100 + 1 + 9) = √110
📐 אורך וקטור
cos(∢EAF) = AE·AF|AE| · |AF|
📐 זווית בין וקטורים
נציב AE·AF = 8 , |AE| = √131 , |AF| = √110:
cos(∢EAF) = 8√131 · √110 = 8√14,410 ≈ 0.06664
📐 מכפלה סקלרית (רכיבים)
(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
📐 אורך וקטור
|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
📐 אורך וקטור
|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
📐 זווית בין וקטורים
cos(הזווית) = a·b|a|·|b|
סעיף ה – הזווית EAF ושטח המשולש EAF · המשך
cos(∢EAF) = 8√131 · √110 = 8√14,410 ≈ 0.06664
∢EAF ≈ 86.18 מעלות
המשולש EAF (בתכלת) בתוך הפירמידה, לפי הקואורדינטות. הקשת מסמנת את הזווית ב־A.
(2) שטח המשולש לפי שתי צלעות והזווית ביניהן:
S = 12 · |AE| · |AF| · sin(∢EAF)
📐 שטח משולש
נציב |AE| = √131 , |AF| = √110 , ∢EAF ≈ 86.18:
📐 שטח משולש
S = 12·a·b·sin(הזווית)
סעיף ה – הזווית EAF ושטח המשולש EAF · המשך
נציב |AE| = √131 , |AF| = √110 , ∢EAF ≈ 86.18:
S = 12 · √131 · √110 · sin(86.18)
√131 ≈ 11.446
√110 ≈ 10.488
sin86.18 ≈ 0.99778
S ≈ 0.5 · 11.446 · 10.488 · 0.99778 ≈ 59.89
סעיף ה – הזווית EAF ושטח המשולש EAF · המשך
S ≈ 0.5 · 11.446 · 10.488 · 0.99778 ≈ 59.89
✅ פתרון סופי: (1) ∢EAF ≈ 86.18 מעלות
(2) S ≈ 59.89 יחידות שטח
(2) S ≈ 59.89 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות
סעיף א
SE = 34(u − w)
BC = v − u
SF = 34(v − w)
BC = v − u
SF = 34(v − w)
סעיף ב
EF = 34(v − u)
EF = 34BC ⟸ מקבילים
EF = 34BC ⟸ מקבילים
סעיף ג
(12 , 16 , 0)
(9 , 12 , 0)
(9 , 12 , 0)
סעיף ד
F(14 , 13 , 6)
סעיף ה
86.18 מעלות
S ≈ 59.89
S ≈ 59.89
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא